Actu Survie Dossiers News Survie — 23 novembre 2013
Cours de survie en ligne Module 5 Cours 2

Module 5 Cours 2

Dans la partie 2, nous prendrons le modèle mathématique que nous avons créé dans la partie 1 et apprendrons à résoudre les équations résultantes. Cela peut avoir l’air effrayant, mais les seules maths dont nous aurons besoin sont l’addition, la soustraction, la multiplication et la division!

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“Bienvenue de nouveau sur notre discussion concernant le modèle de l’invasion zombie. Dans cette partie 2, nous allons parler de comment résoudre les équations de notre modèle construit dans le partie 1.  Ce type d’équations est appelé équations différentielles. Les termes dS/dt, dZ/dt et dR/dt sont ce que nous appelons des dérivatifs. Ils représentent un taux de changement, comment la population de ces groupes évolue en fonction du temps. De la même façon que vous pouvez mesurer la vitesse de votre voiture en kilomètres par heure, ceci est le changement de la population avec le temps. Les mathématiciens aiment souvent classifier ces équations. Savoir à quel type d’équations nous avons à affaire nous suggère de quelle façon nous pourrions les résoudre. Dans notre cas nous pouvons dire que nous avons un modèle de premier ordre, non linéaire, autonome, homogène, couplant des équations différentielles. Avant de commencer à résoudre ces équations particulières, regardons un exemple spécial qui pourrait nous aider à illustrer le processus. Supposez qu’aujourd’hui, vous avez gagné 100$, et vous attendez 10% d’augmentation par jour. Combien aurez-vous demain? Et après-demain ? etc… Pour parler de ceci mathématiquement, nous allons introduire une notation : S0 est le salaire du jour 0 donc aujourd’hui,  soit 100$.

S0=100 c’est le salaire d’aujourd’hui au jour 0

Si vous voulez calculer combien vous gagnerez demain, ce sera à un jour d’aujourd’hui donc le salaire au jour 1 noté S1. Ce sera mon salaire d’aujourd’hui plus 10% d’augmentation.

S1= 100 + (0,1×100) = 110 c’est le salaire de demain, jour 1

Et nous pouvons faire de même pour les autres jours :

S2=110 + (0,1×100) = 121 c’est le salaire d’après demain, jour 2 à partir d’aujourd’hui

Vous voyez que c’est un travail très sympa où je vais gagner beaucoup d’argent très vite. Nous pouvons écrire ceci dans une équation différentielle. Rappelez-vous que nous disions que le dérivatif Ds/dt représentait un taux de changement. Dans ce cas, c’est l’évolution du salaire en fonction du temps, comme dans nos populations. Donc le changement journalier de mon salaire est une augmentation de 10% soit 0,1 de ce salaire.

dS/dt=0,1S

La méthode décrite ensuite est appelée méthode de solution récursive. Je trouve mon prochain salaire en terme de mon précédent salaire. Je peux écrire une équation pour cela. Mon salaire actuel est celui du jour n soit 100$. Mon prochain salaire sera celui du prochain jour n+1

S(n+1)=Sn + (0,1xSn)

Essayons d’appliquer cette idée à notre modèle zombie. La première chose à regarder est l’idée du taux de changement et de pente. Vous devez vous rappeler une notion d’algèbre où l’idée de l’inclinaison est une sorte de changement de y sur une sorte de changement de x :

inclinaison = changement de y/changement de x

Vous pouvez aussi vous rappeler de cette formule comme m(inclinaison)=y2-y1/x2-x1.

Basiquement cette inclinaison est le changement d’une quantité divisé par le changement d’une autre quantité. Un exemple familier est la vitesse de votre voiture. Si je vous dit que vous faites 20km par heure, cela veut dire que votre voiture change de 20km pendant que le temps change d’une heure. Nous pouvons appliquer cette idée d’inclinaison à nos équations sur la population zombie. dS/dt est le changement de la population humaine susceptible avec le temps, et je peux approximativement le traduire avec la formule d’inclinaison précédente en remplaçant y par S et x par t (ce ne sont que des variables de noms différents) et j’obtiens l’équation qui représente le changement de la population S avec le temps :

dS/dt=(S2-S1)/(t2-t1)

Si nous prenons l’équation générale suivante avec laquelle nous calculions notre salaire, nous obtenons :

dS/dt=S(n+1)-Sn / t(n+1)-tn

Fantastique! nous avons toutes les pièces dont nous avons besoin et nous allons donc revenir à notre modèle mathématique zombie.

Rappelez-vous, nous avons un ensemble de 3 équations que nous voulons résoudre :

dS/dt=- ßSZ-\deltaS

dZ/dt=ßSZ-\alphaSZ

dR/dt=\alphaSZ+\deltaS

Qu’est-ce que j’entends par résoudre ? Et bien, nous avons actuellement 3 variables S, Z, et R et les variables sont les choses que je veux trouver, j’aimerais savoir comment elles vont évoluer dans le futur et j’aimerais aussi connaître leur quantité. Pour notre modèle zombie simplifié, nous avons 3 paramètres : \alpha, ß, et \delta qui sont des nombres qui représentent un taux particulier. Je peux aller plus loin et leur assigner une valeur, ce que je vais faire.

\alpha = taux de mortalité zombie = 0,005

ß = taux de contact avec les zombies = 0,0095

\delta = taux de mortalité humaine = 0,0001

Il n’y a rien de précis dans ces valeurs et vous pouvez mettre n’importe quelle valeur dans le modèle et voir si le résultat est réaliste. Nous avons aussi besoin de quelques informations pour démarrer. Rappelez-vous quand nous faisions le salaire, je vous avais donné un salaire de départ de 100$, qui était important pour figurer son évolution. De la même façon pour la population zombie, je dois vous dire combien nous avons d’humains, de zombies, et de retirés, pour démarrer la résolution des équations, parce que cela déterminera combien ils seront dans le futur. Ici, je sélectionne une population d’humains au départ de 500 personnes, pas de zombies et pas de retirés.

S0 = population initiale humaine Susceptible = 500

Z0 = population initiale zombie = 0

R0 = population initiale retirée = 0

Bien, mettons ensemble toutes ces informations : nous avons notre modèle d’équations, les valeurs de nos paramètres que j’ai juste définies et les valeurs initiales de nos populations que j’ai juste définies. L’idée maintenant est que j’aimerais écrire le temps suivant en fonction du temps actuel. Comme avec mon salaire où je connaissais mon salaire actuel et où je voulais connaître mon salaire de demain. Ici, je connais mon nombre de zombie au jour 0 et je veux savoir combien il y aura de zombies au jour 1. Nous allons regarder notre modèle d’équations et commencer par la première :

dS/dt=- ßSZ-\deltaS

Je vais remplacer le dS/dt par ma formule d’inclinaison : S1-S0/t1-t0 et je vais inclure des indices sur tout parce que j’essaie d’écrire le prochain temps en fonction du temps précédent. Et je vais tout écrire avec l’indice 0 puisque nous avons toutes les populations quantifiées au temps 0.

S1-S0/t1-t0 = – ßS0Z0-\deltaS0

Maintenant, il est facile de remplacer les signes par leurs valeurs :

S1-500/t1-0=-(0.0095)(500)(0)-(0,0001)(500)

Finalement t1 serait le temps où je veux connaître la quantité de population S. Prenons par exemple demain, la valeur de t serait alors 1.  Nous pouvons alors résoudre l’équation :

S1-500/1-0=-(0.0095)(500)(0)-(0,0001)(500)

S1-500/1=0-0,05

S1 -500=0-0,05

S1 = 500-0,05

S1= 499,95

Donc si vous résolvez l’équation pour S1, 499,95 sera le nombre d’humains au jour 1, un jour plus tard. Pensons à cela un moment et voyons si cela a du sens. Nous n’avons pas de zombies au temps 0 dans notre modèle et notre modèle ne compte pas d’humains devenus zombies tant qu’ils n’ont pas été mordus puisqu’il n’y a pas de zombies. Donc nous ne pouvons pas espérer une augmentation de la population zombie. La seule chose qui peut arriver au humain est qu’une toute petite partie d’entre eux puissent décéder. Rappelez-vous que notre \delta représentait le taux de mortalité humaine hors cause zombie. Nous avons donc ici une minuscule fraction d’humains qui décèdent de causes habituelles. Vous n’avez probablement jamais rencontré 0,95 humain mais c’est juste l’idée qu’une petite fraction de la population humaine est décédée après un certain temps.

Z1 sera notre population de zombies au jour 1, le jour suivant. Et bien si nous n’avons pas de zombies au départ et aucun humain qui puisse devenir zombie par morsure, alors nous n’aurons toujours aucun zombies au jour 1. Nous pouvons calculer cela de la même façon que pour S1 mais dans ce cas notre intuition nous dit quel sera le résultat. Discutons de cette méthode de solution un peu plus en détail. L’idée est que nous allons réitérer le processus. Nous allons utiliser chaque population courante pour trouver une valeur future et utiliser cette nouvelle valeur future pour en trouver une autre encore plus future. Nous allons répéter ce processus de solution pour chacune des variables S, Z et R mais dans plus de marches de temps, donc utiliser S0, Z0 et R0 pour obtenir S1, Z1 et R1, puis utiliser S1, Z1 et R1 pour obtenir S2, Z2 et R2 et ainsi de suite. Comme vous pouvez l’imaginer, ce processus est extrêmement fastidieux à faire à la main mais peut être facilement implémenté dans un programme d’ordinateur. Les ordinateurs sont parfaits pour faire cette sorte de processus itératif et les calculs qui en découlent. Dans notre discussion, nous utilisons la marche de temps d’1 jour mais en réalité il est beaucoup mieux d’utiliser une plus petite marche de temps comme l’heure, la minute ou la seconde qui nous donnerons une bonne approximation de ce que pourrait être la valeur actuelle d’une population. Rappelez-vous, nous avons seulement dit que nos dérivatifs étaient à peu près égaux dans notre formule d’inclinaison. Cette approximation est seulement bonne si notre intervalle de temps est franchement petit.

Finalement quand je fais ma solution d’équation, je prends un ensemble particulier de valeurs de paramètres pour \alpha, ß, et \delta . Vous voulez probablement actuellement répéter ce processus pour plusieurs différentes valeurs de paramètres. Et bien excellent ! Nous savons maintenant comment résoudre notre modèle d’équations. Dans notre prochain cours, nous apprendrons à déterminer ce qui arrive à nos populations à long terme, et plus important, comment nous pouvons trouver des interventions qui pourraient aider à stopper l’apocalypse zombie. “

Auteur

Mary

Mère de 2 enfants, passionnée de survie, experte en techniques de combat de spray et en maniement de seringue, se dresse contre la bêtise, l'égocentrisme, et... les zombies, parce que, sans déconner, July a raison, ça va nous tomber dessus !

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2 Commentaires

  1. c’est assez cool ^^

  2. encore un mal de crane à l;’horizon.

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